(φ∧ψ)→ρ ⊢ (φ→ρ) ∨ (ψ→ρ)

ChatGPT o3-miniくんに書いてもらいました

背理法が必要そうっぽい

(φ→ρ) ∨ (ψ→ρ) ⊢ (φ∧ψ)→ρは必要なさそうだった

1. (φ ∧ ψ) → ρ 　　【前提】

2. ¬((φ → ρ) ∨ (ψ → ρ)) 　　【背理法の仮定】

3. 2より、De Morganの法則により

¬(φ → ρ) ∧ ¬(ψ → ρ)が得られる。

4. よって、¬(φ → ρ) と ¬(ψ → ρ) が成り立つ。

5. ¬(φ → ρ) は古典論理において、φ → ρ ≡ ¬φ ∨ ρ であるから、

¬(φ → ρ) ≡ φ ∧ ¬ρ と同値である。

6. 同様に、¬(ψ → ρ) ≡ ψ ∧ ¬ρ となる。

7. 5,6より、φ と ψ および ¬ρ が成り立つ。

8. したがって、φ ∧ ψ が成り立つ。（∧導入）

9. 1と8から、(φ ∧ ψ) → ρ と φ ∧ ψ により、ρ が導かれる。（modus ponens）

10. しかし、7より ¬ρ も成り立っており、ρ と ¬ρ は矛盾する。

11. よって、2の仮定 ¬((φ → ρ) ∨ (ψ → ρ)) は誤りである。

12. 結論として、(φ → ρ) ∨ (ψ → ρ) が成立する。